幾何計算先辨認量的是邊界長度、平面覆蓋範圍，還是立體容量。周長使用長度單位，面積使用平方單位，體積使用立方單位；代公式前要讓所有邊長使用相同單位。以下整理常見平面圖形和立體形狀的基本公式，適合估算裁切、鋪面、容器容量和材料表面積。
圖：常見平面圖形與立體形狀的外觀及量測標記，圖示不按比例。作者 C b grenouille，來源：Wikimedia Commons，CC0 1.0。
照片：幾何圖形教學展板與立體模型。作者 Aliva Sahoo，來源：Wikimedia Commons，依 CC BY-SA 4.0 授權。
符號與快速換算方法表
| 符號 | 表示 | 常用單位 |
|---|---|---|
P |
周長，封閉平面圖形的邊界長度 | mm、cm、m、in |
C |
圓周長 | mm、cm、m、in |
A |
平面面積或底面積 | mm²、cm²、m²、in² |
SA |
立體表面積 | mm²、cm²、m²、in² |
V |
體積 | mm³、cm³、m³、L、in³ |
h |
垂直高度 | 與其他長度相同的單位 |
r、d |
半徑、直徑；d = 2r |
與其他長度相同的單位 |
π |
圓周率，計算時常取 3.14159 或使用計算機 π 鍵 | 無單位 |
| 要換算或反推 | 快速方法 | 例子 |
|---|---|---|
| 長度單位轉換 | 先把所有邊長轉成相同單位，再代公式 | 1 m = 100 cm |
| 長度 → 面積 | 長度換算係數平方 | 1 m² = 100² cm² = 10,000 cm² |
| 長度 → 體積 | 長度換算係數立方 | 1 m³ = 100³ cm³ = 1,000,000 cm³ |
| 圓周長 → 直徑 | d = C ÷ π |
C = 31.416 cm → d ≈ 10 cm |
| 圓面積 → 半徑 | r = √(A ÷ π) |
A = 78.54 cm² → r ≈ 5 cm |
| 長方形面積 → 未知邊長 | 未知邊 = A ÷ 已知邊 |
A = 12 m²、寬 3 m → 長 4 m |
| 圓柱體積 → 高度 | h = V ÷ (πr²) |
942.48 cm³、r = 5 cm → h ≈ 12 cm |
平面圖形：周長與面積公式完整速查
| 圖形 | 周長 P |
面積 A |
量測要點 |
|---|---|---|---|
正方形，邊長 s |
4s |
s² |
四邊等長；面積是邊長平方，不是邊長乘 4 |
長方形，長 l、寬 w |
2(l+w) |
lw |
周長相加四邊；面積用相鄰長、寬相乘 |
一般三角形，邊長 a,b,c、底 b、垂直高 h |
a+b+c |
bh ÷ 2 |
高要垂直於所選底邊；斜邊長不能直接當高 |
平行四邊形，鄰邊 a,b、底 b、垂直高 h |
2(a+b) |
bh |
面積的 h 是垂直距離，不是斜邊長 |
梯形，四邊 a,b,c,d，平行底為 a,b |
a+b+c+d |
(a+b)h ÷ 2 |
只把兩條平行邊相加，再乘垂直高並除以 2 |
菱形，邊長 s、兩對角線 d₁,d₂ |
4s |
d₁d₂ ÷ 2 |
對角線須量完整長度；面積公式使用兩對角線 |
圓形，半徑 r、直徑 d |
C = 2πr = πd |
πr² |
先用 d = 2r 區分半徑和直徑 |
正多邊形，邊數 n、邊長 s、內切 apothem a |
ns |
aP ÷ 2 |
面積公式的 a 是中心到邊的垂直距離，不是邊長 |
例：梯形面積。 上底 1.6 m、下底 2.4 m、垂直高 1.2 m，面積為 (1.6 + 2.4) × 1.2 ÷ 2 = 2.4 m²。若要算邊框材料，仍須把四條邊長相加，面積不能代替周長。
立體形狀：體積與表面積公式
| 立體形狀 | 體積 V |
表面積 SA |
公式條件與符號 |
|---|---|---|---|
正方體，邊長 s |
s³ |
6s² |
六個面都是同尺寸正方形 |
長方體，長 l、寬 w、高 h |
lwh |
2(lw+lh+wh) |
六面皆為長方形；封閉箱體含六個面 |
直角柱，底面積 B、底面周長 P、高 h |
Bh |
2B + Ph |
側面為長方形的直柱；斜柱側表面需另依斜高計算 |
圓柱，半徑 r、高 h |
πr²h |
2πr² + 2πrh |
表面積含兩個圓底和側面；只有側面時為 2πrh |
圓錐，底半徑 r、垂直高 h、斜高 ℓ |
πr²h ÷ 3 |
πr² + πrℓ |
ℓ = √(r²+h²)；表面積含圓底和側面 |
正稜錐，底面積 B、垂直高 h |
Bh ÷ 3 |
B + Pℓ ÷ 2 |
P 為底面周長；側面公式適用側面斜高相同的正稜錐 |
球，半徑 r |
4πr³ ÷ 3 |
4πr² |
表面積為球面外側；球沒有平面底面 |
例：圓柱容器容量。 內半徑 5 cm、高 12 cm，理想圓柱體積為 π × 5² × 12 ≈ 942.48 cm³，約 0.942 L。實際容器若有厚度、肩部、圓角或不能裝滿，應量內部尺寸並扣除無法使用的空間。
要用收納箱內長、內寬、內高估算公升數，並核對外徑、箱口和堆疊空間，另見收納箱尺寸與容量換算。
長度、面積與容量單位對照
| 關係 | 精確換算 | 常用速記 |
|---|---|---|
| 1 m | 100 cm = 1,000 mm | 長度換算 |
| 1 m² | 10,000 cm² = 1,000,000 mm² | 平方單位要把長度係數平方 |
| 1 m³ | 1,000,000 cm³ | 立方單位要把長度係數立方 |
| 1 L | 1,000 cm³ = 1 dm³ | 容量和幾何體積的換算 |
| 1 m³ | 1,000 L | 常見於水量、容積和建材估算 |
| 1 in | 25.4 mm | 英吋與毫米換算 |
| 1 ft | 0.3048 m | 英尺與公尺換算 |
若一個房間長 4 m、寬 3 m，地板面積是 12 m²；若天花板高 2.5 m，房間幾何體積是 30 m³，約 30,000 L。前者是鋪地板的面積量，後者是空間體積，兩者的單位不能混用。
常見計算錯誤
| 錯誤 | 正確做法 |
|---|---|
| 用三角形斜邊當面積公式的高 | 從所選底邊量垂直高度；高可落在三角形外部 |
| 梯形兩條底相加後忘記除以 2 | 使用 (上底 + 下底) × 垂直高 ÷ 2 |
把圓直徑當半徑代入 πr² |
先算 r = d ÷ 2 |
| 長度換算後只把面積乘一次換算係數 | 面積把長度係數平方；體積則立方 |
把 cm³ 的數值直接當成 L |
1 L = 1,000 cm³，換算時除以 1,000 |
| 只算幾何容積就當作容器可裝容量 | 再扣除壁厚、邊緣、內部結構及安全留空 |
| 面積和表面積混稱 | A 常指平面區域；SA 是立體所有外表面面積，需先確認是否包含底面 |
參考資料
- OpenStax：Prealgebra 2e — Geometric Formulas：列出常見平面圖形、柱體、圓錐與球體的周長、面積、表面積和體積公式。
- OpenStax：Prealgebra 2e — Volume and Surface Area：說明長方體、正方體、球、圓柱與圓錐的立體量測公式及符號。
- NIST：Guide to the SI, Appendix B.8：英吋、英尺與公制長度換算因子。
- OpenStax：Contemporary Mathematics — Volume and Surface Area：補充常見立體的體積與表面積概念及計算。
- Math Open Reference：Surface Area of 3D Solid Shapes：整理立體圖形表面積公式與圖形說明。
- Wikimedia Commons：Geometry Shapes and Solids：本文幾何示意圖原始檔，作者 C b grenouille，CC0 1.0。
- Wikimedia Commons：Basic Geometrical Shapes：本文幾何教具實物照片，作者 Aliva Sahoo，CC BY-SA 4.0。
公式適用於理想幾何形狀。施工、包裝、液體容量和材料採購還需考慮測量公差、壁厚、接縫、裁切損耗及製造規格；需要法定精度時以該領域圖面或標準為準。
資料記錄